曲線$y=-\cos x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし，水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．
(1) 水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2) 水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．