$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．
(1) $x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2) 不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式 \[ (\ast) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \] が成り立つことを利用して，次の$\tokeiichi$，$\tokeini$に答えよ．
(ⅰ) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ⅱ) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} \ \ (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(4) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(\ast)$が成り立つことを示せ．