$a,\ b$は，$0<b<a$を満たす実数とする．曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$，点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする．連立不等式 \[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \] の表す領域の面積を$S_1$，連立不等式 \[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \] の表す領域の面積を$S_2$とし，$R=e^{-b}S_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい．
(1) $p(a)$を求めよ．
(2) $S_1$と$S_2$を求めよ．
(3) $t=a-b$とする．$R$を$t$のみの関数として表せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ．
(5) $b=p(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．