数列$\{a_n\}$を \[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} \ \ (x>0)$として，次の問いに答えよ．
(1) 閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2) $4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3) $c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4) 上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．