次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ．
袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$\fbox{ア}$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$\fbox{イ}$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$\fbox{ウ}$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$\fbox{エ}$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$\fbox{オ}$であり，$X$の期待値は$\fbox{カ}$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j \ \ (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$\fbox{キ}$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$\fbox{ク}$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$\fbox{ケ}$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 \fbox{コ}$である．