曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり，点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0<\theta<\pi)$とする．次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2) $x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3) $x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4) 曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．