$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式 \[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \] を満たしている．
(1) このとき$f(0)=\fbox{アイ}$であり，さらに \[ f^\prime(x)=\frac{x+\fbox{ウ}}{(x+\fbox{エ})^{\mkakko{オ}}} \] である．
(2) これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{カ}-\fbox{キ}$である．ただし，$\fbox{カ}$，$\fbox{キ}$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする． \[ \nagamaruichi \ \ \log x \quad \nagamaruni \ \ \log (x+1) \quad \nagamarusan \ \ x \log (x+1) \quad \nagamarushi \ \ \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \ \ \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \ \ \frac{x}{x+1} \]
(3) $a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=\fbox{ク}$となる実数の定数$c$が区間$\fbox{ケ}$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) \fbox{コ} m$となることがわかる．ただし，$\fbox{ク}$，$\fbox{ケ}$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$\fbox{コ}$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ c \qquad \nagamaruni \ \ c+1 \qquad \nagamarusan \ \ \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \ \ \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \ \ \log c$
$\nagamaruroku \ \ [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi \ \ (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ < \qquad \nagamaruni \ \ > \qquad \nagamarusan \ \ =$
(4) さらに \[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-\fbox{サ})(e^x-\fbox{シ}) \] となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと \[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}} \] である．