$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める． \[ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\ \text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\ \text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\ \text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\ \text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．} \end{array} \right. \] 頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．
(1) 正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n,\ \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}x$上にある．
(2) $x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$\fbox{サ}$，$\fbox{シ}$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと． \[ \nagamaruichi \ \ -n-1 \qquad \nagamaruni \ \ -n \qquad \nagamarusan \ \ n-2 \qquad \nagamarushi \ \ n-1 \qquad \nagamarugo \ \ n \qquad \nagamaruroku \ \ n+1 \]
(3) $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$\fbox{ス}$である．