原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．
(1) 点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=\fbox{} \sqrt{\fbox{}+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\fbox{}}{\sqrt{\fbox{}+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3) $n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は， \[ S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2} \left( e^{\fbox{}}-\fbox{} \right) e^{-2n} \] である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2}$である．
(4) $t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=\fbox{}$，$b=\fbox{}$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin \fbox{$\ast$} \pi t+\pi (1-\cos \fbox{$\ast$} \pi t) \} \, dt$である．