中央大学
2012年 理工（一般） 第2問
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![次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を2度以上用いてもよい．aを1より大きい実数とする．xy平面において，x軸，y軸，直線x=1と曲線y=a^xで囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．nを自然数とし，k=1,2,・・・,nとする．また，f(x)は0≦x≦1においてf(x)＞0を満たす連続関数とする．(1)4点(\frac{k-1}{n},0)，(k/n,0)，(k/n,f(k/n))，(\frac{k-1}{n},f(\frac{k-1}{n}))を頂点にもつ台形の面積をM_kとする．このときM_k=[キ]となる．とくにf(x)=a^xであれば，面積の和S_n=M_1+M_2+・・・+M_nは[ク]となる．ここで，極限\lim_{x→0}\frac{a^x-1}{x}=[ケ]を用いると，\lim_{n→∞}S_n=[コ]と計算される．(2)以下では，曲線y=f(x)は下に凸とする．3点(\frac{k-1}{n},f(\frac{k-1}{n}))，(\frac{2k-1}{2n},f(\frac{2k-1}{2n}))，(k/n,f(k/n))を通る放物線をC_k:y=α(x-\frac{2k-1}{2n})^2+β(x-\frac{2k-1}{2n})+γ(α,β,γ は定数 )とおく．x軸，直線x=\frac{k-1}{n}，直線x=k/nと放物線C_kで囲まれる部分の面積をN_kとおくとき，N_k=[サ]となる．とくにf(x)=a^xであれば，面積の和N_1+N_2+・・・N_nは[シ]となる．\begin{itemize}ケ，コの解答群\begin{array}{lllll}\maruae^a\phantom{AA}&\marube^{-a}\phantom{AA}&\maruc\frac{e^a}{a-1}\phantom{AA}&\marud(a-1)e^a\phantom{AA}&\marue(a-1)e^{-a}\\\marufloga&\marug\frac{1}{loga}&\maruh\frac{loga}{a-1}&\marui\frac{a-1}{loga}&\maruj(a-1)loga\end{array}キ，サの解答群\mon[\marua]1/n{f(\frac{k-1}{n})+f(k/n)}\mon[\marub]1/2n{f(\frac{k-1}{n})+f(k/n)}\mon[\maruc]1/3n{f(\frac{k-1}{n})+f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\marud]1/4n{f(\frac{k-1}{n})+2f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\marue]1/5n{f(\frac{k-1}{n})+3f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}\mon[\maruf]1/6n{f(\frac{k-1}{n})+4f(\frac{2k-1}{2n})+f(k/n)}ク，シの解答群\begin{array}{ll}\marua\frac{(a^n-1)√a}{n(a-1)}\phantom{AA}&\marub\frac{a^{1/2n}(a-1)}{n(a^{1/n}-1)}\\\maruc\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)}\phantom{AA}&\marud\frac{(a^{1/n}+1)(a-1)}{n(a^1/n-1)}\\\marue\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)}&\maruf\frac{(a^{1/n}+1)(a-1)}{2n(a^{1/n}-1)}\\\marug\frac{(a^{1/n}+a^{1/2n}+1)(a-1)}{n(a^1/n-1)}&\maruh\frac{(a^{1/n}+a^{1/2n}+1)(a-1)}{3n(a^1/n-1)}\\\marui\frac{(a^{1/n}+2a^{1/2n}+1)(a-1)}{4n(a^1/n-1)}&\maruj\frac{(a+3√a+1)(a^n-1)}{5n(a-1)}\\\maruk\frac{(a^{1/n}+4a^{1/2n}+1)(a-1)}{6n(a^1/n-1)}&\end{array}\end{itemize}](./thumb/236/2211/2012_2.png)
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1) $4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=\fbox{キ}$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$\fbox{ク}$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\fbox{ケ}$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\fbox{コ}$と計算される．
(2) 以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を \[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \] とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=\fbox{サ}$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$\fbox{シ}$となる． \begin{itemize}
ケ，コの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ e^a \phantom{AA} & \marub \ \ e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud \ \ (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue \ \ (a-1)e^{-a} \\ \\ \maruf \ \ \log a & \marug \ \ \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \ \ \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj \ \ (a-1) \log a \end{array} \]
キ，サの解答群
[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群 \[ \begin{array}{ll} \marua \ \ \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \maruc \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marue \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \marug \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marui \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} & \end{array} \] \end{itemize}
$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．
(1) $4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=\fbox{キ}$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$\fbox{ク}$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\fbox{ケ}$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\fbox{コ}$と計算される．
(2) 以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を \[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \] とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=\fbox{サ}$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$\fbox{シ}$となる． \begin{itemize}
ケ，コの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ e^a \phantom{AA} & \marub \ \ e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud \ \ (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue \ \ (a-1)e^{-a} \\ \\ \maruf \ \ \log a & \marug \ \ \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \ \ \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj \ \ (a-1) \log a \end{array} \]
キ，サの解答群
[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク，シの解答群 \[ \begin{array}{ll} \marua \ \ \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \maruc \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marue \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \marug \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marui \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} & \end{array} \] \end{itemize}
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