$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．座標平面上に1辺の長さが$r^n$の正方形$R_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$とする．さらに$R_n$は次の条件$\tokeiichi,\ \tokeini$を満たすとする．
(ⅰ) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である．
(ⅱ) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で，点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある．
このとき以下の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ．
(2) $\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ．