四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とする．点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BC}$の中点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3) 点$\mathrm{Q}$を以下の$\maruichi$～$\marusan$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
[$\maruichi$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい [$\maruni$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$ [$\marusan$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．