横浜市立大学
2016年 国際総合学部 第1問
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$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき，以下の各問に答えよ．
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．
(2) $\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．
(4) 式 \[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \] が成り立つことを証明せよ．
(5) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．
(2) $\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．
(4) 式 \[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \] が成り立つことを証明せよ．
(5) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．
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