横浜市立大学
2012年 医学部 第3問
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$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1) $\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2) $a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため） \[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \] とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．
(1) $\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2) $a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため） \[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \] とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．
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