愛知県立大学
2015年 理系 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$があり，初め頂点$\mathrm{A}$にいる．その後，$1$秒毎に，以下の規則に従ってその位置を変化させる．
(ⅰ) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ⅱ) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ⅲ) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2) $p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3) $p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．
(ⅰ) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ⅱ) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ⅲ) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2) $p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3) $p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．
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