自然数の組$(x,\ y,\ z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．
(2)$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．
(3)$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．

次を因数分解しなさい．

(1)$x^3-3x^2+3x-9=[ア]$
(2)$x^8-y^8=[イ]$
(3)$x^4+64=[ウ]$
(4)$x^2+y^2-2xy-9z^2=[エ]$

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．

$x,\ y,\ z$に関する一次方程式
\[ 3x+2y-z=2x-3y+5z=4x+4y-2z \]
が成り立つとし，$x,\ y,\ z$はいずれも$0$でないとする．

(1)$x$と$y$を$z$で表しなさい．

(2)$\displaystyle \frac{x^2-y^2+z^2}{xy+yz-zx}$の値を求めなさい．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．