以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値を求めよ．
(2)$(x+y)(3x-2y+z)^6$の展開式における$x^2y^2z^3$の係数を求めよ．

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[　]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[　]$である．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[　]$である．また，正となるものの最小値は$[　]$であり，最大値は$[　]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]

整式$P=4x^4y+4x^2y^3+4x^3y^2+4xy^4$を因数分解しなさい．また，$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\ y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$のとき，$P$の値を求めなさい．