座標平面上で，行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \]
を満たすことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \]
を満たすことを示せ．
(3)$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$とするとき，
\[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \]
となることを示せ．
(4)点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．

実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし，P$(x_0,\ y_0)$を$C$上の点とする．次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ．
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする．Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき，$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ．
(3)F$(1,\ 0)$，F$^\prime(-1,\ 0)$とする．$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)$n \geqq 2$であるような自然数$n$に対して
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\cdots +(n-1) \cdot n \cdot (n+1)=(1+2+3+\cdots +n)(2+3+\cdots +n) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}} \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの整数がひとつずつ書かれた$9$個の玉が入っている袋の中から玉を$3$個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が$12$以上となる確率を求めよ．
(2)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=5$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3$である．$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積とする．

$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq -\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす．

(1)$a+d=0,\ ad-bc=-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x^2+y^2 \neq 0,\ s^2+t^2 \neq 0,\ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)=-\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$を満たす実数$x,\ y,\ s,\ t$があることを示せ．
(3)さらに，$b=c$ならば，(2)の$x,\ y,\ s,\ t$は$xs+yt=0$を満たすことを示せ．

$a$は定数で，$a>1$とする．座標平面において，

円 \quad $C:x^2+y^2=1$
直線 \ $\ell:x=a$

とする．
$\ell$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

式$\displaystyle \frac{7x^2+5y^2}{(x+y)^2} \ (x+y \neq 0)$の最小値と，最小値をとるときの$\displaystyle \frac{y}{x}$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$と$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$12$，最小値が$4$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$4x^2-13xy+10y^2+18x-27y+18$を因数分解せよ．

座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．