$k$は実数で，$k>1$とする．このとき，Oを原点とする座標平面上の2つの曲線
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:y=kx^2-\frac{5}{4} \]
は，$x$座標が正となる2つの交点A，Bを持つ．以下の問いに答えよ．

(1)A，Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha^2+\beta^2$および$\alpha^2 \beta^2$を$k$を用いて表せ．
(2)線分ABの長さを求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}=150^\circ$のとき，$k$の値を求めよ．

$xyz$空間において，底面の半径が2，高さが4である直円柱
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
0 \leqq z \leqq 4
\end{array}
\right. \]
を考える．この円柱内で，さらに
\[ \left\{
\begin{array}{l}
z \leqq (x-2)^2 \\
z \leqq y^2
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y,\ z)$からなる立体を$V$とする．次の問いに答えよ．

(1)立体$V$を平面$x=t \ (-2 \leqq t \leqq 2)$で切った切り口の面積を$A(t)$とする．$A(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．

(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．

実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．