「y^2」について
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国立 静岡大学 2010年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第1問平面上の点$(a,\ b)$は円$x^2 + y^2-100 = 0$上を動き，点$(c,\ d)$は円$x^2 + y^2-6x-8y+24 = 0$上を動くものとする．
(1)$ac+bd = 0$を満たす$(a,\ b)$と$(c,\ d)$の例を一組あげよ．
(2)$ac+bd$の最大値を求めよ．
(1)$ac+bd = 0$を満たす$(a,\ b)$と$(c,\ d)$の例を一組あげよ．
(2)$ac+bd$の最大値を求めよ．
国立 金沢大学 2010年 第3問Oを原点とする座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と直線$x+2y=1$の交点のうち，$x$座標の小さい方をP，他方をQとする．点P，Qにおける円$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．次の問いに答えよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．
(1)P，Qの座標を求めよ．また，$\ell$と$m$の交点Rの座標を求めよ．
(2)線分ORと$C$の交点をSとする．Sの座標を求めよ．また，$\triangle$QRSの面積を求めよ．
(3)$\angle \text{PQS}=\angle \text{RQS}$であることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
国立 金沢大学 2010年 第1問座標平面において，円$x^2+y^2=1$上の点P$(a,\ b) \ (0<b<1)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸の交点をQとする．点R$(4,\ 0)$と$\ell$の距離が2であるとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ．
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ．
国立 金沢大学 2010年 第2問座標空間において，中心がA$(0,\ 0,\ a) \ (a>0)$で半径が$r$の球面
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は，点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$r$と$a$の値を求めよ．
(2)点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
\[ x^2+y^2+(z-a)^2 = r^2 \]
は，点B$(\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ a)$と点$(1,\ 0,\ -1)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$r$と$a$の値を求めよ．
(2)点P$(\cos t,\ \sin t,\ -1)$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．さらに内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABPの面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第4問$a,\ b$を正の実数とする．曲線
\[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1 \]
は領域$D:x^2+y^2 \leqq 1$に含まれている．次の問いに答えよ．
(1)$(a,\ b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．
(2)$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a,\ b$の値を求めよ．
\[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1 \]
は領域$D:x^2+y^2 \leqq 1$に含まれている．次の問いに答えよ．
(1)$(a,\ b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．
(2)$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a,\ b$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第1問円$x^2 +y^2 = 1$をある直線$\ell$に関して折り返すと，点$(2,\ 0)$で$x$軸に接する．このとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 筑波大学 2010年 第6問直線$\ell:mx+ny=1$が，楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$に接しながら動くとする．
(1)点$(m,\ n)$の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)$C$の焦点$F_1(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_1$とし，もう1つの焦点$F_2(\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1d_2=b^2$を示せ．
(1)点$(m,\ n)$の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)$C$の焦点$F_1(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_1$とし，もう1つの焦点$F_2(\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1d_2=b^2$を示せ．
国立 徳島大学 2010年 第1問放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．