座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

$x,\ y$は実数とする．命題「$3x^2+y^2+4xy \neq 0$ならば$x+y \neq 0$である」について，以下の問いに答えよ．

(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を$1$つあげよ．

座標平面上の2点A$(-2,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を端点とする線分ABと楕円の上半分$x^2+4y^2=4,\ y \geqq 0$に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．

(1)点Cの$x$座標を$\displaystyle 2\cos \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，台形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cの$x$座標を求めよ．

円$x^2+y^2+lx+my+n=0$が，点$\mathrm{A}(-4,\ 3)$，点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，点$\mathrm{C}(2,\ 3)$の$3$点を通るとき，次の問いに答えなさい．

(1)$l,\ m,\ n$の値を求めなさい．
(2)この円の中心の座標と半径を求めなさい．
(3)この円の面積を求めなさい．

$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+3z}{11}=\frac{5z-3x}{8} \neq 0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$x:y:z$の比を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{-3x^3+(9y+z)x^2-3y(z+2y)x+2y^2z}{x^3-x^2y-xz^2+yz^2}$の値を求めよ．

(3)$x,\ y,\ z$を$3$辺とする三角形の最大角の大きさを求めよ．

行列$A$と$E$を
\setstretch{2}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{2}{3} & -\displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とする．以下の問いに答えよ．

(1)行列$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2)零ベクトルでないベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
とおくとき，
\[ \sqrt{X^2+Y^2}=r \sqrt{x^2+y^2} \]
をみたす$r$を求めよ．
(3)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$が与えられたとき，ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)$を次のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n$を求めよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

座標平面上の点P$(x,\ y)$が$4x+y \leqq 9,\ x+2y \geqq 4,\ 2x-3y \geqq -6$の範囲を動くとき，$2x+y,\ x^2+y^2$のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．