$a$を実数の定数とする．円$x^2+y^2+(3a+1)x-(a+3)y-7a-10=0$は，$a$の値にかかわらず，常に定点を通る．その定点のなかで，座標平面上の第$1$象限にある点の$y$座標の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2-4x+3<0$を満たすような$x^2-6x+8=0$の解を求めよ．
(2)座標平面上の$2$点$(2,\ 3)$と$(4,\ 2)$を通る直線に垂直に交わり，かつ円$x^2+y^2=5$に接する直線の方程式を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:(1+\sqrt{3}):\sqrt{2}$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．また，$\sin A$の値を求めよ．

$2$つの円$C_1:x^2+y^2-24x-10y+44=0$，$C_2:x^2+y^2-4x+10y+4=0$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$としたとき，$\displaystyle \frac{L^2}{10}$の値を求めよ．

次の連立不等式で表される領域$D$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right)^2+y^2 \leqq 1 \\
\displaystyle y \leqq -2x+\frac{3}{2} \\
\displaystyle y \leqq x+\frac{7}{10}
\end{array} \right. \]
以下の問に答えなさい．

(1)$y$切片が$k$で，直線$\displaystyle y=-2x+\frac{3}{2}$に垂直な直線を$\ell$とする．直線$\ell$が領域$D$と共有点を持つとき，$k$のとる範囲は，
\[ -\frac{[チ]}{[ツ]}-\frac{\sqrt{[テ]}}{[ト]} \leqq k \leqq \frac{[ナ]}{[ニ]} \]
である．
(2)直線$\ell$が領域$D$で切り取られる線分の長さを$L$とおく．$L$が最大となるのは，$\displaystyle k=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときであり，そのとき，$\displaystyle L=[ノ]+\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]}$となる．

正の実数$a,\ b$について，座標平面上に$2$つの円$C_1:x^2+y^2-8x-20y+91=0$，$C_2:x^2+y^2+4x-4y+8-a=0$と放物線$D:y=b(x-4)^2-2$を考える．

(1)$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)循環小数$1. \dot{4} \dot{6}$を分数で表すと$[ア]$である．$1. \dot{4} \dot{6}+2. \dot{7}$を循環小数で表すと$[イ]$となる．
(2)$f(\theta)=\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta+\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$とする．$x=\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表すと$[ウ]$となる．$0 \leqq \theta \leqq \pi$であるとき，関数$f(\theta)$の最大値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の整数部分が$10$桁になるような整数$n$は$[オ]$個ある．$n$がその中で$4$番目に小さい整数であるとき，$\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^n$の最高位の数字は$[カ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(4)円$(x-2)^2+y^2=1$と直線$y=mx$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$m$の値の範囲は$[キ]$であり，原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$[ク]$である．
(5)図のように半径$r$の半球面に円柱が内接している．円柱の体積が最大になるのは円柱の高さが$[ケ]$のときであり，その円柱の体積は$[コ]$である．
（図は省略）

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=5$を満たすとき，$x^2+3y+1$の最大値は$[ア]$であり，最小値は$[イ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$が$b+c=1$，$b>c$，$A^2+3A-3E=O$を満たすとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．

$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．