$\displaystyle X=\frac{1}{4} \biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{6} & 2\sqrt{2} \\
5\sqrt{2} & 2\sqrt{6}
\end{array} \biggr),\ Y=\biggl( \begin{array}{cc}
-1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -2
\end{array} \biggr)$のとき$A=XY$とする．行列$A^n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す移動によって，点$(-10^8,\ \sqrt{3}\times 10^8)$が点P$_n$に移るとする．$\log_{10}2=0.3010$として，次の問いに答えよ．

(1)$A=k \biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$を満たす$k$と$\theta$を求めよ．ただし，$k>0$とし，$\theta$は$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(2)点P$_n$が中心$(0,\ 0)$，半径1の円の内部にある$n$のうちで，最小の$n$の値を求めよ．
(3)不等式$2^8 < \sqrt{x^2+y^2} < 2^{15},\ y>|\,x\,|$の表す領域を$D$とする．点P$_n$が$D$内にある$n$の値をすべて求めよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点A$(2,\ 8)$と点B$(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点A，Bにおける接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，2直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の2次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点Aを通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．

(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．

連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．

連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$が
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x^2+y^2)^2-(3x^2-y^2)y=0 \\
x \geqq 0 \\
y \geqq 0
\end{array}
\right. \]
で定まる集合上を動くとき，$x^2+y^2$の最大値，およびその最大値を与える$x,\ y$の値を求めよ．