$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

曲線$C:(x-2)^2+y^2=1$と直線$\ell: y=(\tan \theta)x$を考える．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とする．$f(\theta)$を次の(ア)，(イ)，(ウ)のように定める．

\mon[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする．
\mon[(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする．
\mon[(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき，$f(\theta)=0$とする．

さらに，$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が共有点を持つとき，$f(\theta)$を求めよ．
(3)次の積分を計算せよ．
\[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

$xy$平面上に直線$\ell$がある．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．

\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．

だ円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 (a > 0,\ b > 0)$の外側の点$\mathrm{P}(r,\ s)$から$C$に引いた$2$つの接線が常に直交するとき，そのような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

次のふたつの方程式を考える．
\begin{eqnarray}
& & x^2+y^2=z^2 \qquad \cdots\cdots ① \nonumber \\
& & s^2+t^2=u^2+1 \cdots\cdots ② \nonumber
\end{eqnarray}

(1)実数$a,\ b$に対し実数$a^{*},\ b^{*}$を$a^{*}=a+b,\ b^{*}=2a+b+1$で定める．$(x,\ y,\ z)=(a,\ a+1,\ b)$が$①$の解ならば$(s,\ t,\ u)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$②$の解であることを示せ．また，逆に$(s,\ t,\ u)=(a,\ a+1,\ b)$が$②$の解ならば$(x,\ y,\ z)=(a^{*},\ a^{*}+1,\ b^{*})$は$①$の解であることを示せ．
(2)方程式$①$の自然数解$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．$y=x+1$を満たすピタゴラス数を3組あげよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点$\mathrm{A}(2,\ 8)$と点$\mathrm{B}(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，$2$直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は$(2)$で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

$a,\ b$は$a \geqq b > 0$を満たす整数とし，$x$と$y$の2次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad y^2+by+a=0 \]
がそれぞれ整数解をもつとする．

(1)$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．
(2)$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．

曲線$C$を$y^2-4y-8x+20=0$とする．

(1)曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように，$a,\ b$の値を定めよ．
(2)点$(0,\ t)$を通り，傾きが$\displaystyle \frac{1}{m}$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C$が接するとき，$m$の満たす2次方程式を求めよ．
(3)点$(0,\ t)$から曲線$C$に引いた2本の接線は，$t$の値によらず垂直であることを示せ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点A$(2,\ 8)$と点B$(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点A，Bにおける接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，2直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の2次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点Aを通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．