「y^2」について
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国立 小樽商科大学 2012年 第2問連立不等式$x^2+y^2 \leqq 1,\ \sqrt{2}x^2 \leqq y$を満たす部分の面積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)円$C:x^2+y^2=5^2$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (t \neq 0)$における接線の方程式が
\[ y=-\frac{s}{t}x+\frac{5^2}{t} \]
となることを示せ．
(2)円$C$の接線のうち，傾きが$7$となるものを求めよ．
(1)円$C:x^2+y^2=5^2$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (t \neq 0)$における接線の方程式が
\[ y=-\frac{s}{t}x+\frac{5^2}{t} \]
となることを示せ．
(2)円$C$の接線のうち，傾きが$7$となるものを求めよ．
国立 小樽商科大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第3問3点$\mathrm{P}(4,\ -5)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(7,\ 4)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．
(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．
(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
国立 豊橋技術科学大学 2012年 第3問曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の実数とする．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
国立 山梨大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(x_0,\ 0)$があり，$0<x_0<1$とする．原点$\mathrm{O}$と円$C$上の点$\mathrm{B}$を通る直線$\ell_1$と線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{B}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を下の座標平面上に図示せよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 東京海洋大学 2012年 第1問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される移動により点$(x,\ y)$が点$(x^\prime,\ y^\prime)$に移るとき
\[ x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2 \]
が常に成り立つとする．
(1)$\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される移動により点$(x,\ y)$が点$(x^\prime,\ y^\prime)$に移るとき
\[ x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2 \]
が常に成り立つとする．
(1)$\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第3問座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$がある．点$\mathrm{P}$が単位円$C:x^2+y^2=1$上を動くとき，次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2$が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．