$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．

(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1,\ \mathrm{BC}=\mathrm{DA}=3$であり，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x,\ y$とする．以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x$を用いて表せ．また，$S$の最大値$S_0$を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{1}{3}S_0$である四角形$\mathrm{ABCD}$に対して$x^2,\ y^2$の値を求めよ．ただし，$x \leqq y$とし，$S_0$は(1)で求めたものとする．
(3)$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$x$で表せ．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大となる$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．

平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
によって定められる点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移す移動を考える．ここで，$a$は実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする．このとき$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする．ただし$p,\ q$は実数とする．このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値，最小値を求めよ．

$a$を実数とし，$xy$平面上において，2つの放物線
\[ C:y=x^2,\quad D:x=y^2+a \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を実数として，直線$\ell:y=px+q$が$C$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
(2)(1)において，直線$\ell$がさらに$D$にも接するとき，$a$を$p$で表せ．
(3)$C$と$D$の両方に接する直線の本数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$について，
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7 \]
の最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a$を負の実数とする．
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a \]
を満たす$x,\ y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．