次の問いに答えなさい．

(1)$2$次不等式$2x^2-3x-2 \geqq 0$を解きなさい．
(2)実数$x,\ y$が$2x^2+y^2-3x=2$を満たすとき，$x$と$y$の取りうる値の範囲を求めなさい．
(3)$2x^2+y^2-3x=2$のとき，$2y^2+6 |x|+3$の最大値および最小値を求めなさい．

座標平面上で2つの不等式
\[ y \geqq \frac{1}{2}x^2,\quad \frac{x^2}{4}+4y^2 \leqq \frac{1}{8} \]
によって定まる領域を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(1)$V_1$と$V_2$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle\frac{V_2}{V_1}$の値と1の大小を判定せよ．

実数$x,\ y$が条件$x^2+xy+y^2=6$を満たしながら動くとき
\[ x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y \]
がとりうる値の範囲を求めよ．

実数$x,\ y$が条件$x^2+xy+y^2=6$を満たしながら動くとき
\[ x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y \]
がとりうる値の範囲を求めよ．

$a>0$とする．$C_1$を曲線$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$，$C_2$を直線$y=2ax-3a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pが$C_1$上を動き，点Qが$C_2$上を動くとき，線分PQの長さの最小値を$f(a)$とする．$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)極限値$\displaystyle\lim_{a \to \infty}f(a)$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

座標平面上に，だ円$C:2x^2+y^2=1$と点P$(t,\ \sqrt{2}t) (t>0)$がある．点Pが$C$の外側にあるとして，Pから$C$へ接線を2本ひく．2つの接点を$\text{T}_1,\ \text{T}_2$とおき，$\theta = \angle \text{T}_1\text{PT}_2$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．

座標平面上の点$(x,\ y)$が次の方程式を満たす．
\[ 2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0 \]
このとき，$x$のとりうる最大の値を求めよ．

$xyz$空間に$4$点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-\sqrt{3},\ -1,\ 0)$をとる．四面体$\mathrm{PABC}$の$x^2 +y^2 \geqq 1$をみたす部分の体積を求めよ．