「y^2」について
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公立 高崎経済大学 2013年 第5問$2$つの円$C_1:x^2+y^2=16$と$C_2:x^2+(y-8)^2=4$があるとき，以下の各問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の本数を答えよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の交点のうち，原点から最も遠い交点の座標を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の本数を答えよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の交点のうち，原点から最も遠い交点の座標を求めよ．
公立 鳥取環境大学 2013年 第1問不等式に関する以下の問に答えよ．
(1)座標平面上で，不等式$x^2+6x+y^2+2y+6 \leqq 0$と$y \geqq -2x-3$の両方を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x$と$y$は不等式$x^2+y^2 \leqq 4$を満たすことを証明せよ．
(1)座標平面上で，不等式$x^2+6x+y^2+2y+6 \leqq 0$と$y \geqq -2x-3$の両方を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x$と$y$は不等式$x^2+y^2 \leqq 4$を満たすことを証明せよ．
公立 三重県立看護大学 2013年 第1問次の$(1)$から$(6)$の$[ ]$に適する答えを書きなさい．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[ ]$と$[ ]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[ ]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[ ]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[ ]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[ ]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[ ]$，$[ ]$となる．
公立 島根県立大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．
公立 札幌医科大学 2013年 第3問曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．
(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．
(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．
公立 北九州市立大学 2013年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．
(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第4問楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の第$1$象限の点$\mathrm{P}$に接線を引き，$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$を第$1$象限で楕円上を動かしたときの線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2013年 第8問$a$は実数とする．$xy$平面上の円$x^2-2ax+y^2-4y+a^2-1=0$があり，直線$3x+ay=0$と交わり，その交点の間の距離が$2$である．このときの$a$の値を求めよ．
公立 福島県立医科大学 2013年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．
(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．
(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．
(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．
(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．
(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．
公立 福島県立医科大学 2013年 第3問$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．
(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．
(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．