実数$a$に対し，行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．

(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．

$xy$平面において，方程式$x+3y=6$で表される直線を$\ell_0$とし，方程式$y=x^2-1$で表される放物線を$C_0$とする．$\ell_0$に関して$C_0$と対称な放物線を$C_1$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$と点$\mathrm{Q}(c,\ d)$が$\ell_0$に関して対称であるとき，$a,\ b$を用いて$c$と$d$を表しなさい．
(2)$C_1$上の点のうち，$x$座標が最も大きい点の座標を求めなさい．
(3)原点を通る直線$\ell_1$に関して$C_1$と対称な放物線を$C_2$とする．$C_2$が放物線$x=-y^2$を平行移動して得られる放物線に一致するとき，$\ell_1$の方程式を求めなさい．

座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

円$C_1:x^2-4x+y^2=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$がある．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，原点$\mathrm{O}$を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C_2$の方程式を$y=ax^2$とする．$a$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを$\tan \theta$と表す．そのときの$\theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)円$C_1$と直線$\ell$で囲まれた図形のうち，直線$\ell$の上側にある部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，放物線$C_2$の上側にある部分の面積$S_2$を求めよ．
(5)放物線$C_2$の接線で，直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるものを考える．そのすべてについて，接点の$x$座標を求めよ．

$xy$平面において，連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
で定まる図形を$S$とする．$t$を$0<t<1$となる定数とし，$S$を直線$y=t$で$2$つの部分に切断する．$S_1$を$S$と領域$y \geqq t$の共通部分，$S_2$を$S$と領域$y \leqq t$の共通部分とする．

(1)図形$S_1,\ S_2$を描け．
(2)$S_1,\ S_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．不等式
\[ \frac{(S_1 \ \text{の面積})}{(S_2 \ \text{の面積})} \geqq \frac{(V_1 \ \text{の体積})}{(V_2 \ \text{の体積})} \]
を示せ．

$2$つの直線$\ell_1:y=-2x+3$と$\ell_2:y=5$の交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた円を$C_1$とし，円$x^2+y^2=4$を$C_2$とする．

(i) 点$(\alpha,\ \beta)$が$C_1$と$C_2$の交点であるとき
\[ \alpha-5 \beta+4=0 \]
が成り立つことを示せ．
(ii) $C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めよ．

座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

実数の変数$x,\ y$の間に$x^2+y^2=18$の関係があるとき，関数$(x+y)^2-6(x+y)+12$の最大値，最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

円$x^2+y^2=1$を$C$とし，点$(0,\ 2)$を通り傾き$a$の直線を$L$とする．次の問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つような$a$の条件を求めよ．
(2)$L$と$C$が異なる$2$つの交点を持つとき，それら$2$交点の中点の軌跡を含む円の方程式を求めよ．

連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．