「y^2」について
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国立 東京大学 2013年 第3問$a,\ b$を実数の定数とする．実数$x,\ y$が
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad 2x+y \leqq 5 \]
をともに満たすとき，$z=x^2+y^2-2ax-2by$の最小値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第3問点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(u,\ v)$との距離を$d$とする．ただし，$a$は正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．
(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2013年 第6問座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{A}$を通る傾き$m \ (m>0)$の直線と円$C$との交点で，点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下した垂線を$\mathrm{PQ}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を最大とする$m$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を最大とする$m$の値を求めよ．
国立 浜松医科大学 2013年 第2問$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．
(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．
(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．
国立 弘前大学 2013年 第3問$2$曲線$C_1:x^2+y^2=1$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)(x-\beta)$を考える．ただし，$\beta>3$とする．また，$C_1$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を通る$C_1$の接線$\ell$が$C_2$にも接しているとする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．
(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第6問$2$つの円$x^2+y^2=1$と$\displaystyle (x-a)^2+y^2=\frac{a^2}{4} \ (a>0)$が相異なる$2$点で交わるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)第$1$象限の交点における$2$つの円の接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)第$1$象限の交点における$2$つの円の接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第2問$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第1問円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を通り，傾きが$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m>1$である．次の問いに答えよ．
(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(1)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(2)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．
(1)円$C_1$と直線$\ell$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{Q}$における円$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$および(1)の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C_2$とする．$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$m=\sqrt{3}$のとき，円$C_1$と(2)の円$C_2$の両方に接する直線の方程式を求めよ．