以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．

$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha>0$として，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する（$a>s>0$）．

点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+4y^2=4$の上を動くとき，$\mathrm{P}$から定点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ 0) \left( 0<a<\frac{3}{2} \right)$への距離$L(p)$の最小値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

実数$a,\ x,\ y,\ z$が
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x+y+z=a \\
x^2+y^2+z^2=a^2-2a+14 \\
x^3+y^3+z^3=a^3-3a^2+3a+18
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy+yz+zx$および$xyz$を$a$の式で表せ．
(2)$x,\ y,\ z$のうち少なくとも2つが等しいとき，$a,\ x,\ y,\ z$を求めよ．

$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2,\ (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,\ y,\ z)$は，
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2)次の積分値を求めよ．
\[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]

$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が$2$である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$a$を正の数とする．円$x^2+y^2=a$と$C$の交点の個数が，$a$の値によってどのように変わるかを調べよ．

$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が2である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，円$C_1:(x-a)^2+y^2=a^2$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$を考える．

(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．