次の問に答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．

次の問に答えよ．

(1)点$(-p,\ 0)$（ただし，$p>0$）から放物線$y^2=4x$に引いた，傾きが負の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，$x$軸および放物線$y^2=4x$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{16}{3}$となるときの$p$の値を求めよ．

楕円$x^2+3y^2=2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$C_2$との$4$つの交点の座標は，$(p,\ q)$，$(-p,\ q)$，$(-p,\ -q)$，$(p,\ -q)$と表される．$p,\ q$を求めよ．ただし，$p>0$，$q>0$とする．
(3)楕円$C_1$で囲まれた図形のうち，$0 \leqq x \leqq p$となる部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(2)$で求めたものとする．

点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-6x-4y=19$と直線$\ell:x+y=k$について次の問いに答えなさい．

(1)$C$の半径を求めなさい．
(2)$\ell$が$C$の囲む面積を$2$等分するような$k$の値を求めなさい．
(3)$\ell$が$C$と共有点をもつような$k$の範囲を求めなさい．
(4)$\ell$が$C$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$\mathrm{PQ}$の長さが$8$となるような$k$の値を求めなさい．

次の設問に答えなさい．

(1)$x=2+\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$のとき$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$の値を求めなさい．

(2)$(a+bx+cx^2)^3$の展開式において$x^4$の係数を求めなさい．
(3)$x^2-y^2+3x+y+2$を因数分解しなさい．
(4)$x,\ y$を自然数とするとき，$x^2-y^2+3x+y+2=4$を満たす$x,\ y$を求めなさい．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面上の楕円$\displaystyle K:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の$2$点
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．