座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を$\displaystyle \frac{1}{2}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，$1:t$に内分する点を$\mathrm{N}$としたとき，$\angle \mathrm{AOB}=3 \angle \mathrm{AOM}$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \mathrm{ON}=\frac{1-t}{t}$であることを証明せよ．
(2)$x=\cos \angle \mathrm{AOB}$，$y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x,\ y$を$t$を用いて表せ．
(3)$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

$p$を正の実数として，放物線$C:y^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}$，焦点を$\mathrm{F}$，準線を$\ell:x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし，$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a,\ p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{B}_0$とし，接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする．

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$，線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

座標平面において，方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．

点$(0,\ 5)$を通る直線$\ell$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$の例を挙げよ．
(2)$x^3+4y^3=9z^3$をみたす自然数$x,\ y,\ z$は存在しないことを示せ．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し$f(x,\ y)$，$g(x,\ y)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x,\ y)=(x-3)^2+y^2-4 \\
g(x,\ y)=\sqrt{3}x-4y \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
以下の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ f(x,\ y) \leqq 0,\quad g(x,\ y) \leqq 0 \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)円$f(x,\ y)=0$と直線$g(x,\ y)=0$の交点において，円$f(x,\ y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．
(3)$D$を$(1)$で定めた領域とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対して，関係式
\[ \frac{x^2}{(\cos \theta+2)^2}+\frac{y^2}{(\sin \theta+3)^2}=1 \]
を満たす第$1$象限内の点で，積$xy$の値を最大にする点を$\mathrm{P}(\theta)$とする．

(1)$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \mathrm{P}(\theta) \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の軌跡の方程式を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．