$k$を正の定数とする．円$C:x^2+y^2-4x-2y+1=0$と共有点をもたない直線$\displaystyle \ell:y=-\frac{1}{2}x+k$について，次の問いに答えよ．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(2,\ k-1)$，$(2k-2,\ 1)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の重心$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$がただ$1$つの共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上に$2$点$\mathrm{N}(0,\ 1)$，$\mathrm{S}(0,\ -1)$をとる．また$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0) (a>1)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$C$との交点で，点$\mathrm{N}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{SQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{NP}$の方程式を求め，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{SQ}$の方程式を求め，点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めよ．

次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を同時に満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(i) $y$は$x$の整数倍である
(ii) $x \geqq 2$
(iii) $x^2+6!=y^2$

次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を同時に満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(i) $y$は$x$の整数倍である
(ii) $x \geqq 2$
(iii) $x^2+6!=y^2$

以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．

楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ y \geqq 4$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式$x^2+y^2 \leq 25,\ x \geqq 4,\ y \geqq 0$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ 0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$を満たす領域の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \sin \theta_0=\frac{3}{5}$を満たす角$\displaystyle \theta_0 \left( 0<\theta_0<\frac{\pi}{2} \right)$を使用せよ．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．