次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．

半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について，次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．
(3)$(2)$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．

円$x^2+y^2-6x+ay+4=0$上の点$\mathrm{A}(5,\ 1)$における接線を$\ell$とする．原点$\mathrm{O}$からこの円に引いた$2$本の接線のうち，傾きが正であるものの方程式を$y=mx$，接点を$\mathrm{B}$とする．また，この円の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)$a=[ア]$である．
(2)$\mathrm{C}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)接線$\ell$の傾きは$[エオ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積は$\sqrt{[カ]}$である．
(5)$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．

$x,\ y,\ z$を実数とするとき，次の$(1)$～$(6)$までの文中の空欄に当てはまるものを$(ｱ)$～$(ｴ)$から一つ選べ．

(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[　]$．
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[　]$．
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[　]$．
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[　]$．
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[　]$．
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[　]$．


\mon[(ｱ)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(ｲ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ｳ)] 必要十分条件である
\mon[(ｴ)] 必要条件でも十分条件でもない

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$x+y$を計算せよ．
(2)$xy$を計算せよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を計算せよ．

(4)$x^2+y^2$を計算せよ．

次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 0.8-\frac{2}{3} \right) \div \frac{2}{3}$
(2)$(-2)^2 \times 2^{-2}-(-2^2) \times 2^0$
(3)$2 \sqrt{3}-2 \sqrt{12}+\sqrt{27}$
(4)$3x^2y \div 2xy^2 \times (-2y)^2$

次の式を因数分解せよ．

(1)$x^4-6x^2+5$
(2)$2xyz+x^2y+xy^2+x+y+2z$
(3)$x^3-x^2-xy-y^3-y^2$

次の方程式を満たす整数$x,\ y$を求めよ．

(1)$4x^2-y^2=12$
(2)$2x^2-7xy+3y^2-x+8y-10=0$