座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．

$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$を満たす$\theta$について，$r(\theta)=\sqrt{2 \cos 2\theta}$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2=\{r(\theta)\}^2$と直線$y=(\tan \theta)x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta)$，$y$座標を$g(\theta)$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)曲線$C$の概形をかきなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

$x^2+2xy+3y^2=27$を満たす整数の組$(x,\ y)$は$[エ]$組あり，その中で$x-y$の値が最大になる組は，$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

整数$x,\ y$が$x^2-2y^2=1$をみたすとき，次の問に答えよ．

(1)整数$a,\ b,\ u,\ v$が$(a+b \sqrt{2})(x+y \sqrt{2})=u+v \sqrt{2}$をみたすとき，$u,\ v$を$a,\ b,\ x,\ y$で表せ．さらに$a^2-2b^2=1$のときの$u^2-2v^2$の値を求めよ．ともに答のみでよい．
(2)$1<x+y \sqrt{2} \leqq 3+2 \sqrt{2}$のとき，$x=3$，$y=2$となることを示せ．
(3)自然数$n$に対して，$(3+2 \sqrt{2})^{n-1}<x+y \sqrt{2} \leqq (3+2 \sqrt{2})^n$のとき，$x+y \sqrt{2}=(3+2 \sqrt{2})^n$を示せ．

座標平面上の$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$を，$\ell_1:3x-y-1=0$，$\ell_2:x+3y-3=0$，$C:x^2+y^2-4x-2y+3=0$と定めるとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
(2)円$C$と直線$\ell_1$との共有点の座標を求めよ．
(3)円$C$と直線$\ell_2$との共有点の座標を求めよ．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
(3x-y-1)(x+3y-3) \leqq 0 \\
x^2+y^2-4x-2y+3 \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$（$a$は負の実数）について考える．点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する．この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする（点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする）．$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき，$|a+p+q|$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$と直線$L:x-2y+10=0$について考える．楕円$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$L$に下ろした垂線と直線$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の最大値を$M$，最小値を$m$とするとき，$\displaystyle \frac{M}{m}$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．