「y^2」について
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国立 千葉大学 2015年 第4問平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第3問双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第5問点$\mathrm{P}(3,\ 2)$から楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$に$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，それぞれの接点の座標を$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a<c$とする．次の問いに答えよ．
(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 滋賀大学 2015年 第2問$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と円$C:x^2+y^2=1$があり，$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$y$座標はともに正であり，$3$点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の順に並んでいるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とするとき，$S_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{POQ}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標と$S_1$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とするとき，$S_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{POQ}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標と$S_1$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第2問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
国立 信州大学 2015年 第1問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第4問双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第6問平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 大阪教育大学 2015年 第1問以下の問に答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．