「y^2」について
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国立 東北大学 2015年 第1問$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第2問座標平面上に原点を中心とする半径$1$の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$があり，点$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線$\ell$を考える．直線$\ell$は円$C$と異なる$2$点で交わるものとし，点 $\mathrm{A}$から遠い方の交点を$\mathrm{P}$，近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第4問曲線$C:4x^2+9y^2=36 (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2},\ y_1 \right)$が第$1$象限にある．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．
(1)$y_1$の値を求めなさい．
(2)接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標を求めなさい．
(4)曲線$C$，接線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
(1)$y_1$の値を求めなさい．
(2)接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標を求めなさい．
(4)曲線$C$，接線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第1問$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
(1)$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2015年 第1問方程式$y^2=x^6(1-x^2)$が表す図形で囲まれた面積を求めなさい．
国立 千葉大学 2015年 第3問双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．