$n$を正の整数とする．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく．以下の問に答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

$n$を正整数とし，$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2)次の定積分の値をそれぞれ求めよ．
\[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3)次の極限値をそれぞれ求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]

次の空欄$[オ]$に当てはまるものを解答群の中から選べ．それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

(1)$x \neq 7$とする．このとき，不等式
\[ -x^2-x+20>\frac{140}{7-x} \]
を満たす$x$の値の範囲は，
\[ -[ア]<x<[イ],\quad [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)$q$を正の実数とするとき，
\[ \lim_{s \to 1} \frac{q^s-q}{s-1}=[オ] \]
である．
$a,\ b,\ c$を実数とする．$x>0$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \left\{ n(x^{1+\frac{1}{n}}-x)-\frac{ax-2b+x^{n+1}-cx^n}{4+x^n} \right\} \]
と定義する．$f(x)$が$x=1$で連続であるとき，
\[ a-[カ]b+[キ]c=[ク] \]
となる．
オの解答群（ただし，$\log$は自然対数，$e$はその底とする）

\begin{tabular}{llllllllll}
$\nagamarurei 0$ & & $\nagamaruichi 1$ & & $\nagamaruni q$ & & $\nagamarusan q^{-1}$ & & $\nagamarushi e^q$ \\
$\nagamarugo e^{-q}$ & & $\nagamaruroku \log q$ & & $\nagamarushichi -\log q$ & & $\nagamaruhachi q \log q$ & & $\nagamarukyu -q \log q$
\end{tabular}

$n$を$2$以上の自然数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^n \log x (x>0)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x+\frac{1}{x}>0$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^n \log x=0$を示せ．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし
\[ I_n=\int_{c_n}^1 f(x) \, dx \]
とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2I_n$を求めよ．

関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．