$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$のとき，以下の式を完成させよ．

(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$

(2)$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ] \sqrt{[ウ]}$

(3)$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=[エ] \sqrt{[オ]}$

$x$についての$n$次多項式$f(x)$が恒等式$f(x^3)=x^4f(x+1)-15x^5-10x^4+5x^3$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$，$f(-1)$，$f(-8)$の値を求めよ．
(2)$n$の値を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．

次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-1}^1 \left( x^2+x-\frac{x^5}{x^2+2} \right) \, dx \]

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{11}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．$\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{a}{2}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき，$\displaystyle \frac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ．
(3)$a_1=2,\ a_{n+1}+3a_n=4 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

$x^6+2x^5+4x^4+ax^3+bx^2+8x+6$が$x^3+2$で割り切れるとき，$a+b$の値を求めよ．

$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．

(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$

(2)次の不定積分，定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$

5次式$f(x) = x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t \quad (p,\ q,\ r,\ s,\ t \text{は実数})$について考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと，
\[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \]
と書けることは互いに同値であることを示せ．
(2)$f(x)$は(1)の条件をみたすものとする．$\alpha$を実数，$k$を3以上の自然数とする．$k$項からなる数列
\[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \]
が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x- \frac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq x$を示せ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30} \leqq \int_0^x t\sin t\, dt \leqq \frac{x^3}{3}$を示せ．
(3)極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} \]
を求めよ．