タグ「x^5」の検索結果

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東北大学 国立 東北大学 2016年 第4問
多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める.ただし,$i$は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.

(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2)$0<\theta<\pi$に対して,
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
九州歯科大学 公立 九州歯科大学 2016年 第2問
関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ.
(2)$f(x)$を因数分解せよ.
(3)$y=x^2-2x-3$とおく.$f(x)$を$y$を用いて表せ.
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で,最小の整数を$m$とする.$m$の値を求めよ.また,閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ.
岡山県立大学 公立 岡山県立大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき,$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ.
(2)$x^2-4x+1=0$のとき,$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$,$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ.
(3)次の関数を微分せよ.
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2015年 第4問
座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある.直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している.このとき以下の問に答えよ.ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$($D$は積分定数)となることを用いてよい.

(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)実数$a$に対して,点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ.
学習院大学 私立 学習院大学 2015年 第2問
等式
\[ \left( \frac{x^2}{3} \right)^{\log_3 x}=(9x^5)^{\log_x 3} \]
を満たす実数$x$をすべて求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2015年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする.実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める.原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき,$p=[ア]$,$q=[イ]$である.
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は,$x<[ウ]$または$x>[エ]$である.
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると,定数$A$と$B$は$A=[オ]$,$B=[カ]$である.
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である.
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって,出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である.
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり,最小値は$[コ]$である.
南山大学 私立 南山大学 2015年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)$a,\ b$を実数とする.$x$の方程式$x^3+ax^2+6x+b=0$の$1$つの解が$x=-1+i$であるとき,$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり,残りの解は$x=[イ]$である.
(2)$x>0$とする.不等式$(\log_2 x)^2-5 \log_2 x-6<0$を解くと$[ウ]$である.また,$x$の方程式$x^{\log_2 x}=2^a x^5$が解をもつような$a$の値の範囲を求めると$[エ]$である.
(3)実数$a,\ b,\ c,\ k$が$5a-b-c=ka$,$-a+5b-c=kb$,$-a-b+5c=kc$,$abc \neq 0$を満たしている.このとき,$k$の値を求めると$k=[オ]$であり,$\displaystyle R=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$の値を求めると$R=[カ]$である.
(4)$4$人がじゃんけんを$1$回するとき,$1$人だけが勝つ確率は$[キ]$であり,誰も勝たない確率は$[ク]$である.ただし,各人がグー,チョキ,パーを出す確率は,それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$である.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2014年 第1問
整式$x^5+3x^4+px^3+qx-2$が$x^2+3x+4$で割り切れるとき,$p-q$の値を求めよ.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき,$x$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ.
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには,水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ.
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする.
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け.
東京都市大学 私立 東京都市大学 2014年 第2問
次の問に答えよ.

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e x^5 \log x \, dx$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n (x^k)^k$とする.微分係数$f^\prime(1)$を$n$で表せ.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2+x}-3x}{1-\displaystyle\frac{1}{x} \cos x}$を求めよ.
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「x^5」とは・・・

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