関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．

$k$を正の実数とし，$xy$平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=-x^3+kx,\quad C_2:x^2+y^2=k \]
を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$4$つの共有点を持つとする．$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積をそれぞれ求めよ．

3次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a}{2}x^2-\frac{a^3}{12}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$f$の導関数$y=f^\prime(x)$のグラフの接線で，$x$軸に平行なものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$y=f(x)$のグラフが，共有点をちょうど3個もつような$a$の値の範囲を求めよ．

$a,\ m$を正の定数とする．座標平面において，曲線$C:y=x^3-2ax^2+a^2x$と直線$\ell:y=m^2x$は，異なる$3$点を共有し，その$x$座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．

(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．