「x^3」について
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私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
私立 西南学院大学 2010年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について，次の問に答えよ．
(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．
(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．
私立 学習院大学 2010年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
私立 広島国際学院大学 2010年 第4問次の関数について問いに答えなさい．
\[ y=-2x^3-3x^2+12x-5 \]
(1)この関数の導関数$y^\prime$を求めなさい．
(2)導関数$y^\prime$が$0$になる点を求めなさい．
(3)関数$y$の極大値と極小値を求めなさい．
(4)関数$y$の増減表を書きなさい．
\[ y=-2x^3-3x^2+12x-5 \]
(1)この関数の導関数$y^\prime$を求めなさい．
(2)導関数$y^\prime$が$0$になる点を求めなさい．
(3)関数$y$の極大値と極小値を求めなさい．
(4)関数$y$の増減表を書きなさい．
私立 岡山理科大学 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-ax^2-a^2x+b$の極大値と極小値の差が$4$であるとき，次の設問に答えよ．
(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．
(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．
私立 北海道科学大学 2010年 第13問$3$次方程式$x^3-4x^2+9x-10=0$の実数解は$x=[ ]$，虚数解は$x=[ ]$である．
私立 北海道科学大学 2010年 第18問関数$f(x)=x^3+ax+b$（$a,\ b$は定数）が$x=-1$で極大値$5$をとるとき，$a,\ b$の値は$[ ]$であり，極小値は$[ ]$である．
私立 日本女子大学 2010年 第2問関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が$f(0)=0$，$f(1)=-4$，$f(2)=4$，$f(3)=6$を満たすとする．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
私立 北海道文教大学 2010年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．
私立 東北医科薬科大学 2010年 第1問関数$f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c$を考える．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．
(1)$f(0)=65$，$f(4)=81$であるという．このとき，$b=[アイ]a-[ウ]$，$c=[エオ]$である．
(2)さらに$x<0$となる$x$で極大値$81$をもつという．このとき，$a=[カ]$である．
(3)$f(x)$は$x=[キ]$で極小値$[クケ]$をとる．
(4)方程式$f(x)=0$の解は，$x=[コサ]$，$\displaystyle \frac{[シ] \pm [ス] \sqrt{[セ]} i}{[ソ]}$である．