$2$つの整式
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3x^2+mx+3 \\
g(x) &=& x^3+mx^2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0$，$g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．
(2)関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

係数$a,\ b$が整数である$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+1=0$が$2$つの虚数解と$1$つの整数解をもつ．これを満たす整数の組$(a,\ b)$は$[キ]$組あり，そのうち$a$の値が最大となる組は$(a, \ b)=([ク],\ [ケ])$である．

多項式$x^4-2x^3+ax^2+bx+68\ (a,\ b\text{は実数})$が$x^2-x-2$で割り切れるとき，$(a+b)$の値を求めよ．

3次方程式$x^3+x^2-4x+6=0$の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+20)$の値を求めよ．

$2$つの関数$y = x^2,\ y = x^3-x$のグラフについて，次の設問に答えよ．

(1)交点の座標をすべて求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフで囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

関数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$は$x = 1$で極値7をとり，$f(2) = 0$で，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2-3x+2}=6$を満たす．このとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=2x^3+ax^2-4ax+\frac{7}{3}a$が極大値と極小値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$n$は自然数とする．

(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．