「x^3」について
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国立 琉球大学 2010年 第3問点$(a,\ b)$を通り曲線$y=x^3-x$に接するような異なる3本の直線が存在するための実数$a,\ b$が満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
国立 島根大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
国立 高知大学 2010年 第3問関数$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$は$f^{\, \prime}(x)=x^2-1$を満たし，さらに$f(3)=6$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第3問方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第4問3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第2問$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．
(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．
国立 香川大学 2010年 第3問方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第4問3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第2問$x$についての方程式$2x^3-(3a+1)x^2+2ax+b=0$が異なる2つの実数解をもつときの定数$a,\ b$の条件を求めなさい．
国立 岐阜大学 2010年 第1問$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．