$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2$とおく．ただし，$a > 0$とする．

(1)$f(-1) \leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．

実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．

(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．

$y=x^3-mx+n$が$x$軸と接しているとする．

(1)$n^2$を$m$で表せ．
(2)$m,\ n$が自然数のときに，$n$が最小となるときの$m,\ n$を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x \geqq 0) \\
0 \quad (x<0)
\end{array}
\right. \]
により定める．

(1)$a,\ b$は実数とする．$y = ax + b$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど2つの交点をもつための$a,\ b$に対する条件を求めよ．
(2)$p,\ q$は実数で$p>0$とする．$y = x^3 + 6px^2 + 9p^2x + q$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど4つの交点をもつための$p,\ q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)$0<x<1$なる実数$x$に対して，不等式
\[ \log \frac{1+x}{1-x}<2x+\frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{1-x^2} \]
が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle \log 2< \frac{25}{36}$が成り立つことを示せ．

3次式$x^3-7x^2+15x+b$を1次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが5であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

$3$次式$x^3-7x^2+15x+b$を$1$次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが$5$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．