「x^3」について
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私立 愛知学院大学 2011年 第4問$x$の$3$次関数$y=x^3+px^2+qx+r$のグラフは放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$と相異なる$3$点$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1)$，$\mathrm{C}(x_0,\ y_0)$で交わり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$は直交するとする．
(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．
(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．
私立 愛知学院大学 2011年 第1問次の積分
\[ \int_{-1}^1 x^2(x^3+ax+b)^2 \, dx \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$で，$b$の値は$[エ]$である．
\[ \int_{-1}^1 x^2(x^3+ax+b)^2 \, dx \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$で，$b$の値は$[エ]$である．
公立 県立広島大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次式$x^3+ax^2+bx+c$を$x-1$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$1,\ \cos \theta,\ \sin \theta$であるとき，$a,\ b,\ c$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)において，$\theta$が区間$[0,\ 2\pi]$を動くとき，点$(a,\ b)$が描く曲線を図示せよ．
(1)$3$次式$x^3+ax^2+bx+c$を$x-1$で割ったときの商と余りを求めよ．
(2)$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$の解が$1,\ \cos \theta,\ \sin \theta$であるとき，$a,\ b,\ c$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)において，$\theta$が区間$[0,\ 2\pi]$を動くとき，点$(a,\ b)$が描く曲線を図示せよ．
公立 京都府立大学 2011年 第3問曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2011年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．
(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．
公立 会津大学 2011年 第4問$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．
(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．
公立 九州歯科大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|=4$をみたす$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}=4 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が直交するとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^2 |x^3-3x^2+2x| \, dx$の値を求めよ．
(3)$10$個の数$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の中から異なる数字を選んで$4$けたの数を作るとき，この$4$けたの数が$25$の倍数となるのは何通りあるか．
(1)$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|=4$をみたす$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}=4 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が直交するとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^2 |x^3-3x^2+2x| \, dx$の値を求めよ．
(3)$10$個の数$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の中から異なる数字を選んで$4$けたの数を作るとき，この$4$けたの数が$25$の倍数となるのは何通りあるか．
公立 福岡女子大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
公立 三重県立看護大学 2011年 第4問関数$f(x)=x^3-x^2+mx+1$について，次の問いに答えなさい．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{32}{27}$となるとき，$m$の値を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそれぞれの$x$の値を求めなさい．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{32}{27}$となるとき，$m$の値を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，関数$f(x)$の極大値と極小値，およびそれぞれの$x$の値を求めなさい．
公立 富山県立大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．
(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．