空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

$a>0$とし，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+5$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{8}{3} \sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{6}}}}}$を簡単にすると，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となる．

(2)整式$x^{2011}$を$x^2+1$で割った余りは，$[　]$となる．
(3)対数方程式$\log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2$を解くと，$x=[　]$となる．
(4)$-{90}^\circ<x<0^\circ$において，$\displaystyle \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8$のとき，$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=[　]$となる．
(5)第$1$項から第$n$項（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）までの和が$3n^2-n$である数列の第$100$項目の数は$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[　]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[　]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[　]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，残りの解は$[　]$と$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．

$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+3tx^2+(4t^2-3t)x$について，次の問に答えよ．ただし$t$は定数である．

(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$について，次に答えよ．

(1)$f(x)={(x^2+x+a)}^2+bx+c$となる$a,\ b,\ c$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=bx+c$が共有する点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の式を求めよ．

$2$つの曲線$y=|x^2-1|$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^3-x)$に囲まれた図形の面積を求めなさい．