次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．

$x=\sqrt{5}+\sqrt{7}$，$y=\sqrt{5}-\sqrt{7}$のとき，$x+y=2 \sqrt{5}$，$xy=[　]$であることを利用すると，$x^3+y^3=[　]$となる．

曲線$y=x^3-x+3$上の$x=1$の点における接線の方程式を$y=ax+b$とすると，$a=[　]$，$b=[　]$である．

$a$を実数とする．整式$f(x)=x^3+x^2-2x-a(x^2+x-2)$について，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$つの解をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等差数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$の$3$つの解が等比数列をなすとき，$a$の値をすべて求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$2$つの自然数$x,\ y (x<y)$の積が$588$で，最大公約数が$7$であるとき，この$2$つの自然数の組$(x,\ y)$は$(x,\ y)=[　]$である．
(2)$xy$平面において，$2$次関数$y=f(x)$のグラフが点$(2,\ 5)$を頂点とし，点$(-1,\ -4)$を通る放物線であるとき，$f(x)=[　]$である．また，このグラフを$x$軸方向に$[　]$，$y$軸方向に$[　]$だけ平行移動すれば$y=-x^2+10x-21$のグラフになる．
(3)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{DA}=3$のとき，$\mathrm{BD}=[　]$，$\mathrm{CD}=[　]$である．
(4)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}$の部分集合$A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 8,\ 9\}$，$B=\{2,\ 4,\ m\}$（$m$は$2,\ 4$以外の$U$の要素）に対して，$A \cap B=\{2,\ 4\}$となるのは$m=[　]$のときであり，$\overline{A \cup B}=\{6,\ 7,\ 10\}$となるのは$m=[　]$のときである．ただし，$\overline{A \cup B}$は$U$における$A \cup B$の補集合である．
(5)$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x^2} \right)^{12}$の展開式において，$x^3$の係数は$[　]$であり，定数項は$[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$17028$の正の約数は何個あるか．また，$17028$を$2$つの$3$桁の整数の積として表せ．
(2)放物線$y=2x^2+(k-2)x+2k+1$と直線$y=(1-k)x+k+3$がただ$1$つの共有点を持つように$k$の値を定めよ．
(3)実数$x,\ y$が$x-y=x^3-y^3=\sqrt{3}$および$x+y \geqq 0$を満たすとき，$x+y$と$x^3+y^3$の値を求めよ．

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，$n$は$n \geqq 0$である整数とする．

(1)$f_0(x)=\sin x$，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\sin x+\int_0^\pi \frac{2t}{\pi^2} f_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$2$]$である．
(2)$f_0(x)=x+1$，$x^2 f_{n+1}(x)=x^3+\int_0^x tf_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$3$]$である．

$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を
\[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \]
と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$3$つの不等式
\[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \]
を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．