正の定数$a$に対して，$f(x)=ax^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$([ス],\ 0)$であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$のときである．

$a$を正の実数とする．$x \geqq 0$のとき，次の不等式が成り立つとする．
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また，等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]

$p,\ q,\ r$を有理数とし，$f(x)=x^3+3px^2+qx+r$とする．曲線$y=f(x)$は点$(t,\ 0)$で$x$軸に接している．

(1)$f(x)=f^\prime(x)(Ax+B)+Cx+D$をみたす定数$A,\ B,\ C,\ D$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)$t$は有理数であることを示せ．

$a,\ b,\ c$は定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は点$(1,\ 0)$で直線$y=x-1$に接している．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$m$を自然数とし，整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする．

(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．

(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．

次の式を因数分解せよ．
\[ 9x^4+9x^3-4x^2-4x \]

整式$2x^3+ax^2+bx-4$が，$2x+1$および$x-4$で割り切れるとき，$|a-b|$の値を求めよ．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \neq 0)$と関数$g(x)=px^3+qx^2+rx+s (p \neq 0)$について考える（$a,\ b,\ c,\ d,\ p,\ q,\ r,\ s$は実数）．

$f(x)+3g(x)=-x^2$，$f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x^2-4$，$g(0)=1$が全て成立しているとき，$|2aq|$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x} (1 \leqq x \leqq 2)$の長さを$L$とする．$\displaystyle \frac{72}{59}L$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{x^3-1}=[ト]$である．
(2)次の式を満たす関数$f(x)$と定数$a$を求めると，$f(x)=[ナ]$，$a=[ニ]$である．
\[ \int_x^a f(t) \, dt=x^2-2x-3 \]